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En los últimos años el estudio de las conexiones entre análisis p-ádico, física, teoría de números y geometría algebraica se ha intensificado. Como prueba de ello, hemos visto el surgimiento de nuevas revistas internacionales dedicadas a la interacción entre estas áreas, por ejemplo Communications in Number Theory and Physics y p-Adic Numbers, Ultrametric Analysis and Applications. También se ha intensificado el número de conferencias, talleres y congresos nacionales e internacionales dedicados a estos temas. Entre otros podemos destacar los siguientes:

  • En Octubre de 2017 se realizó en la Ciudad de México la sexta versión de The International Conference on p-adic Mathematical Physics and its Applications. Esta conferencia se ha realizado regularmente en Europa desde 2003 y esta fue la primera versión en América.
  • Primer ciclo de charlas sobre análisis p-ádico, geometría algebraica y procesos estocásticos. Bogotá, 2016.
  • Third International Workshop on Zeta Functions in Algebra and Geometry. Guanajuato, 2014.
  • The First International Workshop on Models of Complex Hierarchic Systems and Non-Archimedian Analysis. Ciudad de México, 2013.

Los temas de la escuela

    1. Análisis p-ádico. El análisis p-ádico explota la conexión entre teoría de números y análisis. Al fijar un número primo p de define una norma sobre \mathbb{Q}. El espacio métrico resultante no es completo, su completación es el campo de los números p-ádicos \mathbb{Q}_p. \mathbb{Q}_p es además un campo topológico localmente compacto que contiene importante información aritmética. El análisis p-ádico que nos interesa a nosotros consiste en estudiar las estructuras analíticas y diferenciales asociadas a funciones f: \mathbb{Q}\to \mathbb{C}. En particular, nos interesan las ecuaciones y operadores pseudo-diferenciales que se pueden definir sobre campos p-ádicos y sus aplicaciones al estudio de problemas en física, sistemas complejos (biología) y otras áreas.
    2. Funciones Zeta Locales. Una idea emergente es que las amplitudes de cuerdas y las integrales paramétricas de Feynman, ambas muy importantes en la teoría de cuerdas moderna, están profundamente relacionadas con las funciones zeta locales de tipo arquimediano (\mathbb{R} o \mathbb{C}), p-ádico y motívico. En el contexto arquimediano las funciones zeta locales fueron introducidas en los años 50 por Gel’fand y Shilov. La principal motivación fue que la continuación meromorfa de las funciones zeta locales arquimedianas implica la existencia de soluciones fundamentales para operadores diferenciales con coeficientes constantes. Esto fue probado, independientemente, por Atiyah y Bernstein. En los años 60, Weil estudió las funciones zeta locales arquimedianas y no arquimedianas, en conexión con la fórmula de Poisson–Siegel. En los años 70 Igusa desarrolló una teoría uniforme para funciones zeta locales en característica cero. En el contexto p-ádico las fuciones zeta locales están conectadas con el número de soluciones de congruencias polinomiales módulo p^m y con sumas exponenciales módulo p^m. Cerca del año 2000, Denef y Loeser introdujeron las funciones zeta motívicas, las cuales constituyen una amplia generalización de las funciones zeta locales p-ádicas.
    3. Introducción a la teoría cuántica de campos. Daremos una introducción elemental a los aspectos más básicos de las teorías cuánticas tratando de poner énfasis en la relación con el análisis p-ádico.

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